ভেদ অঙ্ক করার সূত্র

ভেদ এর সূত্র গুলো বুঝার আগে আমরা একটি সহজ অঙ্ক করে নিব | এখানে একটি উদাহরণ নেওয়া হল | এই উদাহরণে দুটি চলরাশি আছে | একটি x ও অপরটি y |

এখন এই উদাহরণে x এর মান পরিবর্তনের সঙ্গে সঙ্গে y এর মান পরিবর্তন হচ্ছে | যেমন x এর মান 2 হলে y এর মান হবে 10 | আবার x এর মান 3 হলে y এর মান হবে 15 | এবার x এর মান 7 হলো, তাহলে y এর মান হবে 35 | এইখানে আমরা দেখলাম x এর মান বৃদ্ধির সঙ্গে সঙ্গে y এর মান বৃদ্ধি হচ্ছে | কি রকম ভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে তা আমরা দেখবো, x এর মান বৃদ্ধি পাওয়ার সঙ্গে সঙ্গে y এর মানের যে পরিবর্তন হচ্ছে তাতে কি কোনো সম্পর্ক আছে, হা এখানে x এর যত মান তার থেকে y এর মান 5 গুন বড় | অর্থাৎ এখানে প্রতি ক্ষেত্রে x এর মান যত হবে y এর মান হবে \(x \times 5\)| যদি এই রকম সম্পর্ক থাকে তাহলে আমরা ভেদের অঙ্ক করতে পারবো | এখানে একটি লক্ষণীয় বিষয় হলো প্রতি ক্ষেত্রে বৃদ্ধির মান সমান হতে হবে |

---

ভেদ এর অংক গুলো সমাধান করতে হলে কতগুলো শব্দ ও চিহ্ন সমন্ধে আমাদের পরিচিত হতে হবে | প্রথমে আমরা \(\propto\) এই চিহ্নটির নাম জানবো , এই চিহ্নটির নাম হলো ভেরিএসেন বা সমানুপাত | এখানে আমরা ভেরিএসেন হিসেবেই জানবো | ভেদ এর অঙ্ক সমাধান করার সময় একটি ধ্রুবক থাকবে, এই ধ্রুবক টিকে বলা হয় ভেদ ধ্রুবক [Variation Constant] | ভেদ ধ্রুবক নিয়ে পরে আলোচনা করা হয়েছে এখানে ক্লিক করে সরাসরি পৌছে যাবেন|

ভেদ ধ্রুবক [Variation Constant]

ভেদ ধ্রুবক কে আমরা সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার k আলফাবেট কে নিয়ে থাকি | এখানে k আলফাবেট এর বদলে ইংরেজি বর্ণমালার যে কোনো আলফাবেট কে ধরা যেতে পারে | অনেক সময় একটি ভেদ এর অংকের মধ্যে দুই বা ততোধিক ধ্রুবক নিতে হয় | তখন আমরা ইংরেজি বর্ণমালার বিভিন্ন আলফাবেট কে বিভিন্ন ধ্রুবক হিসেবে ধরে থাকি | এই বিষয়টি অঙ্ক সমাধান করিলে ভালো ভাবে বুঝতে পারবো |

তাহলে এখানে \(\frac{x}{y}\) এর মান হলো \(\frac{1}{4}\) | এখানে এই মানটি হলো ধ্রুবক | অর্থাৎ এখানে ধ্রুবকের মান হলো \(\frac{1}{4}\) | এটিকে আমরা k ধরে থাকি | এখানে k কিন্তু চলরাশি নায় | k এর একটি নির্দিষ্ট মান আছে | এখানে এই অঙ্কটিতে k এর মান \(\frac{1}{4}\) | k সাধারনত অশূন্য হয়ে থাকে | একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো যখনি আমরা ভেদের অঙ্ক করিব তখন ধ্রুবক ধরতে হবে | এবং প্রতিবার ধ্রুবক ধরিবার সময় লিখতে হবে k একটি অশূন্য ধ্রুবক | অর্থাৎ ধ্রুবকের মান কখনো শূন্য হবে না | ধ্রুবক \(\neq \) 0 |

ভেদের অঙ্ক গুলোকে কয়ভাগে ভাগ করা যায় ও কি কি | ভেদের অঙ্ক গুলোকে আমরা তিনটি ভাগে করতে পরি |

1. (i)সরল ভেদ [Direct Varition],
2. (ii)ব্যস্ত ভেদ [Inverse Varition],
3. (iii)যৌগিক ভেদ [Joint Varition] |

এখন এই তিনটি ভাগের ভেদের অঙ্ক গুলিকে এক এক করে আলোচনা করিব |

(i)সরল ভেদ [Direct Varition]

ধরিলাম আমি তিনটি আলাদা আলাদা জমিতে আলু চাষ করেছিলাম | আলু চাষ সম্পন্ন হবার পর মাটি থেকে বের করে বস্তায় ভত্তি করিলাম | দেখলাম প্রথম জমি থেকে আমার মোট 40 টি বস্তা হলো | এখন যদি আমি একটা টোটো গাড়ি করে বস্তাগুলো নিয়ে এসে আমার খামারে রাখি তাহলে একটি বিষয় লক্ষ করব | একটি টোটো একবারে 5 টি বস্তা আনতে পারবে | তাহলে 40 টি বস্তা আনতে 8 টি টোটো লাগবে, অথবা একটি টোটো কে 8 বার ব্যবহার করতে হবে | আমি ধরিলাম 8 টি টোটো লাগবে | যদি আমার জমিতে 30 বস্তা আলু হতো তাহলে আমার 6 টি টোটো প্রয়োজন হতো | আবার জমিতে 60 বস্তা আলু হলে আমার 12 টি টোটো প্রয়োজন হতো | এখান থেকে আমরা দেখতে পেলাম আলুর বস্তার পরিমাণ বাড়লে টোটো এর সংখ্যা বাড়াতে হবে | আর আলুর বস্তার পরিমাণ কমলে টোটো এর সংখ্যা কমাতে হবে |

একটি টিউশন টিচার 20 জন ছাত্রকে টিউশন পড়ান | একজন ছাত্র এর কাছে তিনি 200 টাকা ফ্রি বাবদ নেন | তাহলে 20 জন ছাত্রের কাছে তিনি মোট 4000 টাকা পাবেন | এখন ছাত্র সংখ্যা 30 হলে টিউশন ফ্রি হবে 6000 টাকা | আবার ছাত্র সংখ্যা 15 হলে টিউশন ফ্রি হবে 3000 টাকা | ছাত্র সংখ্যা 50 জন হলে টিউশন ফ্রি হবে 10000 টাকা | এখান থেকে আমরা কি শিখলাম, ছাত্র সংখ্যা বাড়লে শিক্ষক মহাশয়ের মোট টাকার পরিমাণ বাড়বে | আর ছাত্র সংখ্যা কমলে শিক্ষক মহাশয়ের মোট টাকার পরিমাণ কমবে | এই সরল সম্পর্ক |

---

---

যখন একটি চলরাশির মান বৃদ্ধি পেলে অপর চলরাশির অনুরূপ মান বৃদ্ধি পায় ও একটি চলরাশির মান হ্রাস পেলে অপর চলরাশিটির অনুরূপ মান হ্রাস পায় তখন সেই ভেদের অঙ্ককে সরল ভেদের অঙ্ক বলে |

অর্থাৎ x এর মান বৃদ্ধি পেলে y এর মান বৃদ্ধি পাবে ও x এর মান কমলে y এর মান ও কমবে | একটি ছকের মাধ্যমে বিষয়টি বুঝে নেওয়া যাক |

এখানে x এর মান বাড়ছে, প্রথমে 2 তার পর 3 তার পর 4 | এইভাবে x এর মান ছোট থেকে বড় হচ্ছে | অর্থাৎ x এর মান বৃদ্ধি পাচ্ছে | আবার এই ছকে y এর মান বৃদ্ধি পাচ্ছে, প্রথমে 6 তার পর 9 তার পর 12, এই ভাবে বৃদ্ধি হচ্ছে y এর মান | এই ছকটিতে আমরা দেখলাম x এর মান বৃদ্ধি পাচ্ছে ও y এর মানো বৃদ্ধি পাচ্ছে | এখানে ধ্রুবক হলো \(\frac{x}{y}=k=\frac{1}{3}\)

এখানে x এর মান কমছে, প্রথমে 7 তার পর 6 তার পর 5 এইভাবে | এইভাবে x এর মান বড় থেকে ছোটো হচ্ছে | অর্থাৎ x এর মান হ্রাস হচ্ছে | আবার এই ছকটিতে y এর মান কমছে, প্রথমে 28 তার পর 24 তার পর 20, এই ভাবে হ্রাস পাচ্ছে y এর মান | এই ছকটিতে আমরা দেখলাম x এর মান হ্রাস পাচ্ছে ও y এর মানো হ্রাস পাচ্ছে | এখানে ধ্রুবক হলো \(\frac{x}{y}=k=\frac{1}{4}\)

---

এখানে x কে y দিয়ে ভাগ করলে আমরা ধ্রুবক পাবো | তাই আমরা লিখতে পারি \(\frac{x}{y}=k\) |

\(\frac{x}{y}=k\)

\(x= k \times y\)

এখন আমরা =k তুলে \(\propto \) বসাতে পারি
তাহলে আমরা লিখতে পারি

x\(= k \) \(\times y\)

x\(\propto \) y

যদি আমাদের \(\propto \) এই চিহ্ন তুলি তাহলে =k বসাতে হবে | আমরা যখন অঙ্ক করিব তখন বিষয়টি ভালো ভাবে বুঝতে পারবো | অর্থাৎ \(\propto \) এর পরিবর্তে =k|

---

আমরা উপরে সরল ভেদের কিছু উদাহরণ দেখলাম | যেখানে চলরাশির মানগুলি ক্রমাগত বৃদ্ধি বা হ্রাস পাচ্ছে | অর্থাৎ ছোট থেকে বড় কিংবা বড় থেকে ছোট হচ্ছে পর পর | এখন যে ছকটি দেখবো সেই ছকটি হলো সরল ভেদের অঙ্কের ছক |

এখানে কিন্তু পর পর বড় থেকে ছোট বা ছোটো থেকে বড় সাজানো নেই | কিন্তু যেখানে x এর মান বেশি সেই কলামে y এর মান বেশি আছে | যেমন এখানে x চলরাশির মানগুলি মধ্য সব থেকে বড় 7, যেটি তৃতীয় কলাম এ আছে | আবার y চলরাশির মানগুলি মধ্য সব থেকে বড় 28, এই 28 সংখ্যাটি ও তৃতীয় কলামে আছে | x চলরাশির সবথেকে ছোট মান 2, যেটি চতুর্থ কলামে আছে | একেই রকম ভাবে y চলরাশির সবথেকে ছোট মান 8, যেটি চতুর্থ কলামে আছে | আমরা যদি ছোট থেকে বড় সাজাই তাহলে ছকটি হবে এই রকম |

অর্থাৎ এখানে x চল রাশির মান বাড়লে y চল রাশির মান বৃদ্ধি পাচ্ছে | তাই এই সরল ভেদের অঙ্ক | নিচে আরেকটি ছক আছে | এই ছকটিতে ও x চলরাশির মান বৃদ্ধি পেলে y চলরাশির মান বৃদ্ধি পাচ্ছে | আবার x চলরাশির মান হ্রাস পেলে y চলরাশির মান হ্রাস পাচ্ছে | যদি আমাদের বুঝতে অসুবিধা হয় তা হলে আমরা বড় থেকে ছোটো কিম্বা ছোটো থেকে বড় সাজিয়ে নিয়ে দেখবো x ও y চলরাশির মান এর কিরূপ পরিবর্তন হচ্ছে |

আমার বোঝার সুবিধার জন্য সাজিয়ে নিলাম | উপরের ছকটি ছোট থেকে বড় সাজানো হয়েছে | নিচের এই ছকটি বড় থেকে ছোট সাজানো হল | এখান থেকে আমরা দেখলাম x এর মান কমার সঙ্গে সঙ্গে y এর অনুরূপ মান কমতে থাকচে |

(ii)ব্যস্ত ভেদ [Inverse Varition]

আমরা কিছু বন্ধু মিলে এক জার চকলেট কিনলাম | ঐ চকলেট জারটির মধ্য 1000 টি চকলেট আছে | এখন যদি বন্ধু সংখ্যা 20 জন হয় তা হলে প্রত্যেকে 50 টি করে চকলেট পাবো | আর যদি বন্ধু সংখ্যা 10 জন হয় তা হলে প্রত্যেকে 100 টি করে চকলেট পাবো | যদি বন্ধু সংখ্যা 50 জন হয় তা হলে প্রত্যেকে 20 টি করে চকলেট পাবো | এখান থেকে আমরা কি জানলাম, যদি বন্ধু সংখ্যা বেশি হয় তা হলে চকলেট কম পাবো | আর বন্ধু সংখ্যা কম হলে তা হলে চকলেট বেশি পাবো | এই রকম অংকে একটির পরিমাণ কমলে অপরটির পরিমাণ বাড়বে ও একটির পরিমাণ বাড়লে অপরটির পরিমাণ কমবে | তাহলে ব্যস্ত সম্পর্ক হবে |

---

---

যখন একটি চলরাশির মান বৃদ্ধি পেলে অপর চলরাশির অনুরূপ মান হ্রাস পায় ও একটি চলরাশির মান হ্রাস পেলে অপর চলরাশিটির অনুরূপ মান বৃদ্ধি পায় তখন সেই ভেদের অঙ্ককে ব্যস্ত ভেদের অঙ্ক বলে

অর্থাৎ x এর মান বৃদ্ধি পেলে y এর মান হ্রাস পাবে ও x এর হ্রাস পেলে y এর মান বৃদ্ধি পাবে | একটি উদাহরন এর মাধ্যমে বুঝে নেওয়া যাক |

এখানে যে ছকটি আমরা দেখতে পাচ্ছি তাতে x চল রাশির মান ক্রমাগত বৃদ্ধি পাচ্ছে | আর y চলরাশির মান ক্রমাগত হ্রাস পাচ্ছে | এখানে যদি আমরা x ও y কে গুণ করি তাহলে আমরা একটি নিদ্রিষ্ট সংক্ষা পাবো | যা প্রতি ঘরে সমান হবে | এখানে আমরা x ও y কে গুণ করে পেলাম 1000 | এই 1000 সংখ্যাটি প্রতি ঘরেই হবে | অর্থাৎ ব্যস্ত ভেদের অঙ্ক করার সময় চলরাশি দুটির গুন করতে হবে | এবং গুণফল প্রতি ক্ষেত্রে সমান হবে |

---

x ও y আমরা কিভাবে লিখবো দেখে নেওয়া যাক | আমরা জানি ব্যস্ত ভেদের চলরাশি দুটির গুন করলে একটি ধ্রুবক পাবো | ধরিলাম ধ্রুবকটি হলো k | এখন আমরা লিখতে পারি \(x \times y =k\)

\(x \times y =k\)

\(x =k \times \frac{1}{y}\)

এখন আমরা =k তুলে \(\propto \) বসাতে পারি
তাহলে আমরা লিখতে পারি

x\(=k\)\(\times \frac{1}{y}\)

x\(\propto \)\(\frac{1}{y}\)

অর্থাৎ \(\propto \) এর পরিবর্তে =k|

---

আর একটা অন্য উদাহরণ দেখে নেওয়া যাক | এখানে যে ছকটি দেওয়া আছে তা এলোমেলোভাবে সাজানো | কিন্তু x ও y এর অনুরূপ মান নিয়ম অনুযায়ী বৃদ্ধি ও হ্রাস হয়ে থাকে | প্রথমে আমরা ছকটি দেখি তার পর আলোচনা করবো |

এখানে আমরা দেখলাম প্রথম x এর মান 5 ও y এর মান 500 | দ্বিতীয় তে x এর মান 2 যা প্রথমের তুলনায় ছোটো, অর্থাৎ 5 এর তুলনায় 2 ছোটো | আবার দ্বিতীয় তে y এর মান 1250, যা y এর প্রথম মানের থেকে বড় | অর্থাৎ 500 থেকে 1250 বড় | আবার তৃতীয় তে যে x মানটি আছে তা দ্বিতীয় এর থেকে বড়, 2 এর থেকে 5 বড় | আর y এর মান দ্বিতীয় এর থেকে ছোট | 1250 এর থেকে 312.50 ছোটো | তাহলে আমরা দেখলাম যেখানে x এর মান বেশি সেইখানে y এর মান কম আর যেখনে x এর মান কম সেইখানে y এর মান বেশি থাকবে | বোঝার সুবিধার জন্য x কে ছোট থেকে বড় সাজিয়ে নিয়ে একটি ছক তৈরি করিলাম |

এখান থেকে আমরা দেখলাম x এর মান বাড়তে থাকলে y এর মান ক্রমাগত কমতে থাকবে | এই রকম থাকলে আমরা ব্যস্ত ভেদ চিহ্নিত করতে পারবো | তবে \(x \times y\) এর মান প্রতি ক্ষেত্রে সমান হবে |

যৌগিক ভেদ [Joint Varition]

যৌগিক ভেদের অংক গুলো এর মধ্যে কমপক্ষে তিনটি করে চলরাশি থাকে | এরকম অঙ্কগুলো এর মধ্যে তিনের অধিক চলরাশি থাকতে পারে | আমরা এখানে তিনটি করে চলরাশি নিয়ে অংক গুলো বোঝার চেষ্টা করি | ধরিলাম তিনটি চলরাশি x, y ও z | এখন আমরা যদি \(x \times yz\) লিখি তাহলে বিষয়টি হবে এই রকম | এখানে y ও z এর মধ্যে একটি ধ্রুবক হবে | যদি y ধ্রুবক হয় তাহলে z পরিবর্তনশীল | আবার z ধ্রুবক হলে y পরিবর্তনশীল | বাস্তবে তিনটি চলরাশি পরিবর্তনশীল |

\(x \propto y\) [z হল অশূন্য ধ্রুবক]
\(x \propto z\) [y হল অশূন্য ধ্রুবক]

তাহলে আমরা লিখতে পারি \(x \propto yz\) [y ও z উভয়ই পরিবর্তনশীল]

---

---

এই অঙ্কটি আমি যেভাবে বুঝেছি

ধরিলাম একটি আয়তক্ষেত্রাকার চতুর ভূজ এর লম্ব হলো x সেমি, ও প্রস্ত হল y সেমি এবং ক্ষেত্রফল z বর্গসেমি | এখন একটি টেবিলের মাধ্যমে বিষয়টি বুঝবো |

এখানে প্রস্থ অর্থাৎ y এর মান স্থির | তাই y হল একটি অশূন্য ধ্রুবক | এখানে ধ্রুবক টির মান হল 2 |

---

এখানে দৈর্ঘ অর্থাৎ x এর মান স্থির | তাই x হল একটি অশূন্য ধ্রুবক | এখানে ধ্রুবক টির মান হল 5 |

---

এখানে প্রথম সারিতে z এর মান আছে 10, x এর মান 5 ও y=2 আছে | যদি x ধ্রুবক হয় তা হলে আমরা লিখিব \(z \propto y\) | আবার y ধ্রুবক হয় তা হলে আমরা লিখিব \(z \propto x\) | দ্বিতীয় সারিতে x ধ্রুবক হলে \(z \propto y\) | y ধ্রুবক হলে \(z \propto x\) | এখানে x ও y এর মধ্যে একটির মান স্থির থাকবে, আর সেটাই হবে ভেদ ধ্রুবক | ভেদ ধ্রুবক সব সময় অশূন্য হবে |

আমরা ভেদের অঙ্ক করার সময় শিখেছি \(\propto\) এই চিহ্নটি তুলিলে =k বসাতে হবে | তাই আমি \(x \propto y\) পরিবর্তে \(x =k y\) লিখতে পারি |

or \(x =k \times y\)

or \(x \times \frac{1}{k} = y\)

or \(y = x \times \frac{1}{k}\)

or \(y = \frac{1}{k} \times x\) [এখানে \(\frac{1}{k}\) ধ্রুবক]

অতএব \(y \propto x\)

---

এখানে তিনটি চলরাশি x, y ও z আছে | আর দুটি ধ্রুবক আছে | ধ্রুবক দুটি হল P ও Q | \(x \propto y\) এখানে ধ্রুবক হলো P, অতএব \(x =P y\) | \(y \propto z\) আর এটার ক্ষেত্রে ধ্রুবক হলো Q, অতএব \(y =Q z\)

\(x =P \times\) y [এখানে y এর পরিবর্তে Qz বসাতে পারি]

\(x =P \times\)Qz

\(x =PQ \times z \) [PQ কে আমি M ধরিলাম]

\(x =Mz \) [এখানে M ধ্রুবক]

তাই আমরা লিখতে পারি \(x \propto z \)

---

\(x \propto y \) সুতরাং \(x =k y \) [k হল ধ্রুবক ]

\(\frac{x}{y} =k \)

\(\frac{x+y}{x-y} =\frac{k+1}{k-1} \) [যোগ ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে]

\(x+y =\frac{k+1}{k-1} \times (x-y) \)

\((x+y) \propto (x-y) \) [এখানে \(\frac{k+1}{k-1} \) হল ধ্রুবক]

---

\(x \propto y \) সুতরাং x=ky হবে, [k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

\(x \propto y \)

\(x=ky \)

\((x)^{n}=(ky)^{n} \)

\(x^{n}=k^{n} y^{n} \)

\(x^{n}=P y^{n} \) [\(k^{n}\) এর পরিবর্তে P ধরিলাম]

\(x^{n}=P y^{n} \) [এখানে P ধ্রুবক]

তাই \(x^{n} \propto y^{n} \)

---

\(x+y \propto x-y \)

অতএব \(x+y =k(x-y) \) [k ধ্রুবক]

or \(\frac{x+y}{x-y} =\frac{k}{1}\)

or \(\frac{(x+y)+(x-y)}{(x+y)-(x-y)} =\frac{k+1}{k-1}\) [যোগ ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে]

or \(\frac{(x+y+x-y)}{(x+y-x+y)} =\frac{k+1}{k-1}\)

or \(\frac{(x+x)}{(y+y)} =\frac{k+1}{k-1}\)

or \(\frac{2x}{2y} =\frac{k+1}{k-1}\)

or \(\frac{x}{y} =\frac{k+1}{k-1}\)

এখানে \(\frac{k+1}{k-1}\) এটি হলো ভেদ ধ্রুবক | আমরা \(\frac{k+1}{k-1}\) এই সংখ্যাটিকে Q ধরিলাম | তাই \(\frac{k+1}{k-1}=Q \) | এখানে \(\frac{k+1}{k-1} \)এর মান অপরিবর্তনশীল, অর্থাৎ \(\frac{k+1}{k-1} \) এই মানের পরিবর্তন হবে না | তাই এটিকে ধ্রুবক হিসেবে Q ধরিলাম |

\(\frac{x}{y} = Q\)

\(x =Qy\)

\(x \propto y\)

---

\(x^{n}+y^{n} \propto x^{n}-y^{n} \)

অতএব \(x^{n}+y^{n} =k(x^{n}-y^{n}) \) [k ধ্রুবক]

or \(\frac{x^{n}+y^{n}}{x^{n}-y^{n}} =\frac{k}{1}\)

or \(\frac{(x^{n}+y^{n})+(x^{n}-y^{n})}{(x^{n}+y^{n})-(x^{n}-y^{n})} =\frac{k+1}{k-1}\) [যোগ ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে]

or \(\frac{x^{n}+y^{n}+x^{n}-y^{n}}{x^{n}+y^{n}-x^{n}+y^{n}} =\frac{k+1}{k-1}\) [যোগ ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে]

or \(\frac{x^{n}+x^{n}}{y^{n}+y^{n}} =\frac{k+1}{k-1}\)

or \(\frac{2x^{n}}{2y^{n}} =\frac{k+1}{k-1}\)

or \(\frac{x^{n}}{y^{n}} =\frac{k+1}{k-1}\)

এখানে \(\frac{k+1}{k-1}\) এটি ধ্রুবক | \(\frac{k+1}{k-1}\)=Q ধরিলাম

\(\frac{x^{n}}{y^{n}} =Q\)

\(x^{n}=Q \times y^{n}\)

\(x=\sqrt[n]{Q} \times y\)

\(x=\sqrt[n]{Q} \times y\) [এখানে \(\sqrt[n]{Q}\) হল ভেদ ধ্রুবক | আমরা \(\sqrt[n]{Q}\)= T ধরিলাম ]

\(x=T \times y\) [এখানে T হল ভেদ ধ্রুবক]

\(x=Ty\) [এখানে T হল ভেদ ধ্রুবক]

\(x \propto y\)

---

\(x \propto y \) সুতরাং \(x =K y \) [K হল ধ্রুবক ]
\(u \propto z \) সুতরাং \(u =L z \) [L হল ধ্রুবক ]

এখানে আমরা x এর সঙ্গে u গুন করবো | তাই = চিহ্ন এর পর আমরা গুন করবো \(Ky \times Lz \)

তাহলে আমরা লিখতে পারি \(x \times u = Ky \times Lz \)

\(x \times u = Ky \times Lz \)

\(xu = KyLz \)

\(xu = KLyz \)

\(xu \propto yz \) [এখানে KL হল ধ্রুবক ]

---

\(x \propto y \) সুতরাং \(x =K y \) [K হল ধ্রুবক ]
\(u \propto z \) সুতরাং \(u =L z \) [L হল ধ্রুবক ]

এখানে আমরা x কে u দিয়ে ভাগ করবো | তাই = চিহ্ন এর পর আমরা ভাগ করবো \(Ky \div Lz \)

তাহলে আমরা লিখতে পারি \(x \div u = Ky \div Lz \)

\(\frac{x}{u} = \frac{Ky}{Lz}\)

\(\frac{x}{u} =\frac{K}{L} \times \frac{y}{z}\)

\(\frac{x}{u} =\frac{K}{L} \frac{y}{z}\)

\(\frac{x}{u} \propto \frac{y}{z}\) [এখানে \(\frac{K}{L}\) হল ধ্রুবক]