মাধ্যমিক বইয়ের গোলক এর অঙ্কগুলি

গোলকের অংক গুলো সমাধান করতে সাধারণত আমাদের তিনটি সূত্র প্রয়োজন হয় | (i) সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল, (ii) অর্ধ তলের ক্ষেত্রফল, (iii) গোলকের আয়তন নির্ণয় | এই তিনটি সূত্রকে ব্যবহার করে আমরা গোলকের সমস্ত অঙ্ক গুলি সমাধান করিব |

NO:1 একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি. হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার সূত্র হল\(4 \pi r^{2}\) বৰ্গ একক |
এখানে গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি |
তা হলে গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে \(4 \times \pi \times 10.5^{2}\) বৰ্গ সেমি |

\(4 \times \pi \times 10.5^{2}\) বৰ্গ সেমি

\(4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5\) বৰ্গ সেমি

\(4 \times \frac{22}{7} \times \frac{105}{10} \times 10.5\) বৰ্গ সেমি

\(4 \times \frac{22}{1} \times \frac{15}{10} \times 10.5\) বৰ্গ সেমি

\( \frac{4 \times 22 \times 15 \times 10.5}{10} \) বৰ্গ সেমি

\(\frac{13860}{10} \) বৰ্গ সেমি

\(1386.0 \) বৰ্গ সেমি

1386 বৰ্গ সেমি

অতএব গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হলো 1386 বৰ্গ সেমি |

NO:2. একটি চামড়ার বল তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি. 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে। বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

একটি চামড়ার বল তৈরি করতে এক বর্গ সেমিতে খরচ হয় 17.50 টাকা | সম্পূর্ণ বল তৈরি করতে খরচ হয় 431.20 টাকা | এর থেকে আমরা বলটির ক্ষেত্রফল কত তা জানতে পারবো |

17.50 টাকা খরচ হয় 1 বর্গ সেমিতে
1টাকা খরচ হয় \(\frac{1}{17.50}\) বর্গ সেমিতে
431.20টাকা খরচ হয় \(\frac{1\times 431.20}{17.50}\) বর্গ সেমিতে

\(\frac{1\times 431.20}{17.50}\)

\(\frac{43120 \times 100}{1750 \times 100}\)

\(\frac{43120}{1750}\)

\(\frac{4312}{175}\)

\(24.64\) বর্গ সেমি

এখন গোলকটির অর্থাৎ বলটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল হলো \(24.64\) বর্গ সেমি | এখান থেকে আমরা গোলকের ব্যাসার্ধ জানতে পারিব | কারণ \(4 \pi r^{2}=24.64\)

\(4 \pi r^{2}=24.64\)

\(4 \times \frac{22}{7} r^{2}=24.64\)

\( \frac{4 \times 22}{7} r^{2}=\frac{2464}{100}\)

\( r^{2}=\frac{2464}{100}\times \frac{7}{4 \times 22}\)

\( r^{2}=\frac{2464 \times 7}{100 \times 4 \times 22}\)

\( r^{2}=\frac{616 \times 7}{100 \times 1 \times 22}\)

\( r^{2}=\frac{28 \times 7}{100 \times 1 \times 1}\)

\( r^{2}=\frac{28 \times 7}{100}\)

\( r^{2}=\frac{196}{100}\)

\( r^{2}=\frac{14\times 14}{10\times 10}\)

\( r=\frac{14}{10}\)

\( r=1.4\)

এখন চামড়ার বলটির ব্যাসার্ধ হলো 1.4 সেমি | তা হলে ব্যাস হবে \( 1.4\times 1.4=2.8\) সেমি

অতএব বলটির ব্যাস হলো 2.8 সেমি

NO:3. স্কুলে সটপাট খেলার জন্য যে বলটি ব্যবহার করা হয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. হলে, বলটিতে কত ঘন সেমি. লোহা আছে হিসাব করে লিখি।

এখানে আমরা গোলকের আয়তন নির্ণয় করিব | সটপাট খেলার জন্য আমরা যে লোহার বলটি ব্যবহার করি তা হলো সম্পূর্ন নিরেট | এই বলটিতে কত ঘন সেমি লোহা আছে তা নির্ণয় করিব | বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি হলে ব্যাসার্ধ হবে 3.5 সেমি |

ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি , ব্যাসার্ধ হবে \(\frac{7}{2}=3.5\) সেমি
গোলকের আয়তন নির্ণয় করার সূত্র \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) ঘন একক

\(\frac{4}{3}\times \pi \times 3.5^{3}\) ঘন সেমি (r=3.5)

\(\frac{4}{3}\times \frac{22}{7} \times 3.5^{3}\)

\(\frac{4}{3}\times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 3.5\)

\(\frac{4}{3}\times \frac{22}{1} \times 0.5 \times 3.5 \times 3.5\)

\(\frac{4}{3}\times 22 \times 0.5 \times 3.5 \times 3.5\)

\(\frac{4 \times 22 \times 0.5 \times 3.5 \times 3.5}{3}\)

\(\frac{539}{3}\)

\(179\frac{2}{3}\) ঘন সেমি

অতএব সটপাট বলটিতে \(179\frac{2}{3}\) ঘন সেমি লোহা আছে

NO:4. 28 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলক জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে যে পরিমাণ জল অপসারিত করবে তা নির্ণয় করি।

একটি নিরেট গোলককে জলে ফেলে দিলে বলটি সম্পূর্ণ রুপে জলে ডুবে যাবে | বলটি সম্পূর্ণরূপে জলে ডুবে গেলে কিছুটা জল অপসারিত হবে | যে পরিমান জল অপসারিত হবে তাই হলো বলের আয়তন | অর্থাৎ বলের আয়তন = অপসারিত জল | আমি এখানে বলের আয়তন নির্ণয় করিলে জলের আয়তন পাবো |

গোলকের আয়তন নির্ণয় করার সূত্র \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\) ঘন একক
নিরেট গোলকের ব্যাস 28 সেমি,ব্যাসার্ধ হবে \(\frac{28}{2}=14 \) সেমি

\(\frac{4}{3}\times \pi \times 14^{3}\)(r=14)

\(\frac{4}{3}\times \frac{22}{7} \times 14^{3}\)

\(\frac{4}{3}\times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14\)

\(\frac{4}{3}\times \frac{22}{1} \times 2 \times 14 \times 14\)

\(\frac{4}{3}\times 22 \times 2 \times 14 \times 14\)

\(\frac{34496}{3} \)

\(11498\frac{2}{3} \) ঘন সেমি

অতএব নিরেট গোলকটি জলে ডুবালে \(11498\frac{2}{3} \) ঘন সেমি জল অপসারিত করবে |

NO:5. কোনো গোলকাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার সময়ে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. থেকে 21 সেমি. হলে বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করি।

এখানে আমরা একটি বেলুনের দুইবার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করবো | একবার বাতাস না থাকায় ও আরেকবার বাতাস থাকায় | বাতাস না থাকায় বেলুনটির ব্যাসার্ধ এর দৈর্ঘ্য হলো 7 সেমি, বাতাস থাকায় বেলুনটির ব্যাসার্ধ এর দৈর্ঘ্য হবে 21 সেমি | অর্থাৎ বেলুনটির ব্যাসার্ধ এর দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পেলো 21-7=14 সেমি | এখানে বেলুন টি হলো একটি সম্পূর্ণরূপে একটি গোলক |

প্রথমে 7 সেমি ব্যাসার্ধ গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করিব |

গোলক এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার সূত্র হলো \(4 \pi r^{2}\) বৰ্গ একক

\(4 \times \pi \times 7^{2}\) (r=7)

\(4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7\)

\(4 \times \frac{22}{1} \times 1 \times 7\)

\(4 \times 22 \times 7\)

\(616\) বৰ্গ সেমি

প্রথমে 21 সেমি ব্যাসার্ধ গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করিব |

\(4 \times \pi \times 21^{2}\) (r=21)

\(4 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21\)

\(4 \times \frac{22}{1} \times 3 \times 21\)

\(4 \times 22 \times 3 \times 21\)

\(5544\) বৰ্গ সেমি


অনুপাত নির্ণয় করি
7 সেমি ব্যাসার্ধ গোলক : 21 সেমি ব্যাসার্ধ গোলক
616:5544 (উভয়কে 2 দিয়ে ভাগ করে)
308:2772 (উভয়কে 2 দিয়ে ভাগ করে)
154:1386 (উভয়কে 2 দিয়ে ভাগ করে)
77:693 (উভয়কে 11 দিয়ে ভাগ করে)
7:63 (উভয়কে 7 দিয়ে ভাগ করে)
1:9

অতএব বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হলো 1:9

---

NO:6. অর্ধগোলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে \(127\frac{2}{7}\) বর্গ সেমি. পাত লেগেছে। বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

এখানে একটি অর্ধগোলাকৃতি বাটি তৈরি করবো | এখানে বাটিটি কতটা মোটা হবে সেটি গুরুত্বপূর্ণ নয় | অর্থাৎ বাটিটি তোরি করতে কত মোটা পাত লাগবে সেটি এখানে ধরা হলো না | এখানে বাটিটি অর্ধগোলক | বাটিটির মুখে কোনো পাত লাগবে না, কারণ বাটিটির মুখ খুলা | তাই মুখ বাদে পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করিলে উত্তর পাবো | অঙ্কে দেওয়া আছে বাটিটির মুখ বাদে পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল \(127\frac{2}{7}\) বর্গ সেমি | এখানে ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে |

মুখ বাদে অর্ধগোলাকৃতি বাটির ক্ষেত্রফল, অর্থাৎ বক্রতলের ক্ষেত্রফল এর সূত্র \(\frac{1}{2}\)গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল | অর্থাৎ সম্পূর্ণ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল যা হবে তার অর্ধেক হবে | তাই এখানে 2 দিয়ে ভাগ করে নিলাম | এখন অর্ধ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো \(\frac{1}{2}\times 4\pi r^{2} \) বর্গ একক =\(2\pi r^{2} \) বর্গ একক |

ধরিলাম বাটিটির ব্যাসার্ধ হলো r সেমি
শর্ত অনুযায়ী \(2\pi r^{2} \)=\(127\frac{2}{7}\)

\(2\times \frac{22}{7}\times r^{2} =127\frac{2}{7}\)

\(\frac{2\times 22}{7}\times r^{2} =\frac{127\times 7+2}{7}\)

\(\frac{2\times 22}{7}\times r^{2} =\frac{889+2}{7}\)

\(\frac{2\times 22}{7}\times r^{2} =\frac{891}{7}\)

\(r^{2} =\frac{891}{7}\times \frac{7}{2\times 22}\)

\(r^{2} =\frac{891\times 7}{7 \times 2\times 22}\)

\(r^{2} =\frac{891}{2\times 22}\)

\(r^{2} =\frac{81}{2\times 2}\)

\(r^{2} =\frac{81}{4}\)

\(r =\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}\)

\(r =\frac{9}{2}\)

\(r =4.5\)

এখন ব্যাসার্ধ হলো 4.5 সেমি | ব্যাস হবে 9 সেমি |

অতএব অর্ধগোলাকৃতি বাটির মুখের ব্যাস হবে 9 সেমি |

NO:7. একটি নিরেট লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1 সেমি.। ওই গোলাটিতে কত ঘন সেমি. লোহা আছে তা হিসাব করে লিখি এবং ওই লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

এখানে একবার নিরেট লোহার গোলার আয়তন ও আরেকবার বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্নয় করতে হবে | অর্থাৎ লোহার গোলার দুটি উত্তর নির্ণয় করতে হবে | লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1 সেমি |

লোহার গোলার আয়তন হবে \(\frac{3}{4}\pi r^{3}\)
\(\frac{3}{4}\times \pi \times 2.1^{3}\)(r=2.1)

\(\frac{3}{4}\times \frac{22}{7} \times 2.1^{3}\)

\(\frac{3}{4}\times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1\)

\(\frac{3\times 22 \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1}{4 \times 7}\)

\(\frac{3\times 11 \times 2.1 \times 2.1 \times 0.3}{2 \times 1}\)

\(\frac{43.659}{2 }\)

\(\frac{43.659}{2 }\)

---

লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে \(4\pi r^{2}\) বৰ্গ একক
\(4\times \frac{22}{7} \times 2.1^{2}\) (r=2.1)

\(4\times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1\)

\(4\times \frac{22}{1} \times 0.3 \times 2.1\)

\(4\times 22 \times 0.3 \times 2.1\)

\(55.44\)

NO:৪. একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি.। এই গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি. দৈর্য্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।

এই অংকটি তে একটি বড় গোলক কে গলিয়ে কতগুলি ছোট গোলক তৈরি করা যাবে তা নির্ণয় করতে হবে | বড় গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ 7 সেমি | প্রথমে বড় গোলকের আয়তন নির্ণয় করিব |

বড় গোলকের আয়তন \(\frac{3}{4}\pi r^{3}\) যেখানে r=7 সেমি

\(\frac{3}{4}\times \frac{22}{7} \times 7^{3}\)

\(\frac{3}{4}\times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7\)

\(\frac{3}{4}\times \frac{22}{1} \times 1 \times 7 \times 7\)

\(\frac{3 \times 22 \times 1 \times 7 \times 7}{4}\)

\(\frac{3 \times 11 \times 1 \times 7 \times 7}{2}\)

\(\frac{1617}{2}\)

---

এরপর একটি ছোটো গোলকের আয়তন নির্ণয় করিব | ছোটো গোলকের ব্যাসার্ধ 3.5 সেমি |

\(\frac{3}{4}\pi r^{3}\) যেখানে r=3.5 সেমি

\(\frac{3}{4} \times \frac{22}{7} \times 3.5^{3}\)

\(\frac{3}{4} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 3.5\)

\(\frac{3}{4} \times \frac{22}{1} \times 0.5 \times 3.5 \times 3.5\)

\(\frac{3 \times 22 \times 0.5 \times 3.5 \times 3.5}{4} \)

\(\frac{3 \times 11 \times 0.5 \times 3.5 \times 3.5}{2} \)

\(\frac{202.125}{2} \)

এখন আমরা বড় গোলককে ছোটো গোলক দিয়ে ভাগ করিলে উত্তর পাবো | অর্থাৎ বড় গোলককে \(\div\)ছোটো গোলক |

\(\frac{1617}{2} \div \frac{202.125}{2} \)

\(\frac{1617 }{2} \times \frac{2}{202.125} \)

\(\frac{1617 \times 2}{2 \times 202.125} \)

\(\frac{1617 \times 1}{1 \times 202.125} \)

\(\frac{1617}{202.125} \)

\(\frac{1617 \times 1000}{202125}\)

\(\frac{1617000}{202125}\)

\(8\)

অতএব বড় গোলক কে গলিয়ে 8 টি ছোট গোলক তৈরি করা যাবে |

---

---

অঙ্কটির পরিক্ষা :-

NO:9. 3 সেমি., 4 সেমি. ও 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামার গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো। বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

এখানে তিনটি গোলককে গলিয়ে একটি গোলক তৈরি করা হলো | অর্থাৎ তিনটি গোলকের আয়তন যত হবে, সেই সমান আয়তনের একটি বড় গোলক তৈরি করতে হবে | তিনটি গোলকের আয়তন = বড় গোলক |

প্রথম গোলকের ব্যাসার্ধ হল 3 সেমি, আয়তন হবে

\(\frac{3}{4}\pi r^{3}\) যেখানে r=3 সেমি

\(\frac{3}{4} \times \frac{22}{7} \times 3^{3}\)

\(\frac{3}{4} \times \frac{22}{7} \times 3 \times 3 \times 3\)

\(\frac{3}{4} \times \frac{22}{7} \times 3 \times 3 \times 3\)

\(\frac{3 \times 22 \times 3 \times 3 \times 3}{4 \times 7} \)

\(\frac{3 \times 11 \times 3 \times 3 \times 3}{2 \times 7} \)

\(\frac{891}{2 \times 7} \)

দ্বিতীয় গোলকের ব্যাসার্ধ হল 4 সেমি, আয়তন হবে

\(\frac{3}{4}\pi r^{3}\) যেখানে r=4 সেমি

\(\frac{3}{4} \times \frac{22}{7} \times 4^{3}\)

\(\frac{3}{4} \times \frac{22}{7} \times 4 \times 4 \times 4\)

\(\frac{3}{4} \times \frac{22}{7} \times 4 \times 4 \times 4\)

\(\frac{3 \times 22 \times 4 \times 4 \times 4}{4 \times 7} \)

\(\frac{3 \times 11 \times 4 \times 4 \times 4}{2 \times 7} \)

\(\frac{2112}{2 \times 7} \)

তৃতীয় গোলকের ব্যাসার্ধ হল 5 সেমি, আয়তন হবে

\(\frac{3}{4}\pi r^{3}\) যেখানে r=5 সেমি

\(\frac{3}{4} \times \frac{22}{7} \times 5^{3}\)

\(\frac{3}{4} \times \frac{22}{7} \times 5 \times 5 \times 5\)

\(\frac{3}{4} \times \frac{22}{7} \times 5 \times 5 \times 5\)

\(\frac{3 \times 22 \times 5 \times 5 \times 5}{4 \times 7} \)

\(\frac{3 \times 11 \times 5 \times 5 \times 5}{2 \times 7} \)

\(\frac{4125}{2 \times 7} \)

---

বড় গোলকের আয়তন হবে

এরপর তিনটি গোলকের আয়তন যোগ করিলে পাবো \(\frac{891}{2 \times 7}+\frac{2112}{2 \times 7}+\frac{4125}{2 \times 7}\)
\(\frac{891+2112+4125}{2 \times 7}\)

\(\frac{7128}{2 \times 7}\)

\(\frac{7128}{2 \times 7}\) এটি হলো বড় গোলকের আয়তন
ধরিলাম বড় গোলকের ব্যাসার্ধ r সেমি |
শর্ত অনুযায়ী \(\frac{3}{4}\pi r^{3}\)=\(\frac{7128}{2 \times 7}\) | এখান থেকে r এর মান নির্ণয় করতে হবে

\(\frac{3}{4}\pi r^{3}=\frac{7128}{2 \times 7}\)

\(\frac{3}{4}\times \frac{22}{7} \times r^{3}=\frac{7128}{2 \times 7}\)

\(\frac{3\times 22}{4 \times 7} \times r^{3}=\frac{7128}{2 \times 7}\)

\( r^{3}=\frac{7128}{2 \times 7}\times \frac{4 \times 7}{3\times 22}\)

\( r^{3}=\frac{7128 \times 4 \times 7}{2 \times 7 \times 3\times 22}\)

\( r^{3}=\frac{7128 \times 2 \times 7}{1 \times 7 \times 3\times 22}\)

\( r^{3}=\frac{324 \times 2 \times 7}{1 \times 7 \times 3\times 1}\)

\( r^{3}=\frac{108 \times 2 \times 7}{1 \times 7 \times 1\times 1}\)

\( r^{3}=\frac{108 \times 2 \times 1}{1 \times 1 \times 1\times 1}\)

\( r^{3}=108 \times 2 \)

\( r^{3}=2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 \)

\( r^{3}=3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 2 \)

\( r=3 \times 2 \)

\( r=6 \)

অতএব বড় গোলকের ব্যাসার্ধ হবে 6 সেমি

NO:10. একটি অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি.। গম্বুজটির উপরিতল রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।

গম্বুজ হলো একটি অর্ধগোলক | যার সমতল ভূমির উপর সংলগ্ন থাকে অর্থাৎ ভূমিতে লেগে থাকে, এবং পার্শ্বতল বা বক্রতল উপর দিকে থাকে | উদাহরণ হিসেবে বলা যায় গম্বুজ দেখতে অনেকটা উল্টানো বাটির মতো | একটি বাটিকে মাটিতে উল্টিয়ে রাখলে য়ে রকম দেখায় ঠিক সেই রকম দেখতে হয় একটি গম্বুজ | গম্বুজের ভূমিতলের বাদ দিয়ে উপরিতল রং করা মনে হলে গম্বুজের পার্শ্বতল রং করা | অর্থাৎ গম্বুজের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা | এই অঙ্কে গম্বুজের ব্যাসের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে 42 ডেসিমি, তাহলে ব্যাসার্ধ হবে \(\frac{42}{2}\)=21 ডেসিমি |

গম্বুজের ব্যাসার্ধ 21 ডেসিমি হলে পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল কত হবে নির্ণয় করিব |
সূত্র \(2 \pi r^{2}\) বর্গ একক, (r=21)

\(2 \times \pi \times 21^{2}\)

\(2 \times \frac{22}{7} \times 21^{2}\)

\(2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21\)

\(2 \times \frac{22}{1} \times 3 \times 21\)

\(2 \times 22 \times 3 \times 21\)

\(2772\) বর্গ ডেসিমি

এখন আমরা গম্বুজের উপরিতলের ক্ষেত্রফল পেলাম 2772 বর্গ ডেসিমি, অর্থাৎ \(\frac{2772}{100}=27.72\) বর্গ মিটার| কারণ বর্গ ডেসিমিটার থেকে মিটারে পরিণত করতে হলে 100 দিয়ে ভাগ করতে হয় |গম্বুজটির 1 বর্গ মিটার রং করতে খরচ হয় 35 টাকা, তাহলে 27.72 বর্গমিটার রং করতে খরচ হবে কত টাকা নির্ণয় করিব |

1 বর্গ মিটার রং করতে খরচ হয় 35 টাকা
27.72বর্গ মিটার রং করতে খরচ হয় \(35\times 27.27\) টাকা

\(35\times 27.27\)= 970.20 টাকা = 970 টাকা 20 পয়সা

অতএব গম্বুজটির পার্শ্বতল রং করতে খরচ হবে 970 টাকা 20 পয়সা |

NO:11. একই ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাঁপা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 21 সেমি. এবং 17.5 সেমি.। গোলকদুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি।

এখানে দুটি ফাঁপা গোলকের কথা উল্লেখ করা হয়েছে | অর্থাৎ এই গোলক দুটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করলে কত পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তা পেয়ে যাবো | গোলকের পৃষ্ঠতলের বা পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার সূত্র হলো \(4 \pi r^{2}\) বর্গ একক |

প্রথম গোলক এর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি | ব্যাসার্ধ \(\frac{21}{2}\) সেমি \(4 \times \pi \times (\frac{21}{2})^{2}\)

\(4 \times \frac{22}{7} \times (\frac{21}{2})^{2}\)

\(4 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2}\)

\(4 \times \frac{22}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{21}{2}\)

\(2 \times \frac{22}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{21}{1}\)

\(1 \times \frac{22}{1} \times \frac{3}{1} \times \frac{21}{1}\)

\(1 \times 22 \times 3 \times 21\)

\(1386\) বর্গ সেমি

---

দ্বিতীয় গোলক এর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

ব্যাসের দৈর্ঘ্য 17.5 সেমি | ব্যাসার্ধ \(\frac{17.5}{2}\) সেমি \(4 \times \pi \times (\frac{17.5}{2})^{2}\)

\(4 \times \frac{22}{7} \times (\frac{17.5}{2})^{2}\)

\(4 \times \frac{22}{7} \times \frac{17.5}{2} \times \frac{17.5}{2}\)

\(4 \times \frac{22}{1} \times \frac{2.5}{2} \times \frac{17.5}{2}\)

\(2 \times \frac{22}{1} \times \frac{2.5}{2} \times \frac{17.5}{1}\)

\(1 \times \frac{22}{1} \times \frac{2.5}{1} \times \frac{17.5}{1}\)

\(1 \times 22 \times 2.5 \times 17.5\)

\(962.5\) বর্গ সেমি

---

অতএব গোলক দুটির নির্ণেয় অনুপাত হলো 36:25

NO:12. একটি ধাতব গোলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

ধরিলাম বড় গোলকের ব্যাসার্ধ R সেমি | ধরিলাম ছোটো গোলকের ব্যাসার্ধ r সেমি |

R সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(4 \pi R^{2}\)

r সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল \(4 \pi r^{2}\)

শর্ত অনুযায়ী \(\frac{1}{2} \times 4 \times \pi \times R^{2}=4 \times \pi \times r^{2}\)

\(\frac{1}{2} \times R^{2}=r^{2}\)

\(R^{2}=r^{2} \times \frac{2}{1}\)

\(R^{2}=r^{2} \times 2\)

\(R^{2}= 2\times r^{2}\)

\(R= \sqrt{2\times r^{2}}\)

---

R সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের আয়তন \(\frac{4}{3} \times \pi \times R^{3}\) ঘন সেমি |
\(\frac{4}{3} \times \pi \times R^{3}\) কে আমরা \(\frac{4}{3} \times \pi \times (\sqrt{2\times r^{2}})^{3}\) ভাবে লিখতে পারি | কারণ \(R= \sqrt{2\times r^{2}}\)

কেটে নেওয়ার পর গোলকের আয়তন হবে \(\frac{4}{3} \times \pi \times (\sqrt{2\times r^{2}})^{3}\) - \(\frac{4}{3} \times \pi \times r^{3}\)

কারণ R সেমি ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তন থেকে r সেমি ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তন কেটে নেওয়া হলো


r সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের আয়তন অর্থাৎ অবশিষ্ট গোলকের আয়তন \(\frac{4}{3} \times \pi \times r^{3}\) ঘন সেমি |

অতএব কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত হলো (\(2 \sqrt{2} -1\)):1

NO:13. 14 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ভূগোলকের অক্ষটির বক্রতলে 0.7 সেমি, দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভুগোলকটির গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।

এই অঙ্কটিতে একটি গোলক আছে | গোলকটির উপর তল থেকে দুটি বৃত্ত কেটে নেওয়া হয়েছে | অর্থাৎ গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল থেকে দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল কেটে অর্থাৎ বাদ দেওয়া হয়েছে | অর্থাৎ গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বিয়ুক্ত 2 \(\times \)0.7 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল |

14 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

\(4 \pi r^{2}\) (r=14)

\(4 \pi 14^{2}\) বর্গসেমি



0.7 সেমি বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

\(\pi r^{2}\) (r=0.7)

\(\pi 0.7^{2}\) বর্গসেমি

দুটি 0.7 সেমি বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে \(2 \times \pi \times 0.7^{2}\) বর্গসেমি

\(4 \pi 14^{2}\) বর্গসেমি - \(2 \times \pi \times 0.7^{2}\) বর্গসেমি

\((4 \times \pi \times 14^{2})-(2 \times \pi \times 0.7^{2})\) বর্গসেমি

\((4 \times \frac{22}{7} \times 14^{2})-(2 \times \frac{22}{7} \times 0.7^{2})\) বর্গসেমি

\((4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 )-(2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7)\) বর্গসেমি

\((4 \times \frac{22}{1} \times 2 \times 14 )-(2 \times \frac{22}{1} \times 0.1 \times 0.7)\) বর্গসেমি

\((4 \times 22 \times 2 \times 14 )-(2 \times 22 \times 0.1 \times 0.7)\) বর্গসেমি

\(( 2 \times 22 \times 4 \times 14 )-(2 \times 22 \times 0.1 \times 0.7)\) বর্গসেমি

\(2 \times 22(4 \times 14 - 0.1 \times 0.7)\) বর্গসেমি

\(44(56-0.07)\) বর্গসেমি

\(44(55.93)\) বর্গসেমি

\(2460.92)\) বর্গসেমি

অতএব দুটি বৃত্ত কেটে নেওয়ার পর ভূগোলকটির ক্ষেত্রফল হবে \(2460.92)\) বর্গসেমি |

NO:14. ৪ সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।

এই অঙ্কটি 8 নম্বর দাগের মতো নিয়মে সমাধান করতে হবে |

8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট লোহার গোলকের আয়তন হলো

\(\frac{3}{4} \pi r^{3}\) (r=8)

\(\frac{3}{4} \pi 8^{3}\)

\(\frac{3}{4} \times \frac{22}{7} \times 8^{3}\)

\(\frac{3}{4} \times \frac{22}{7} \times 8 \times 8 \times 8\)

\(\frac{3}{1} \times \frac{22}{7} \times 2 \times 8 \times 8\)

\(\frac{8448}{7} \)

---

1 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট লোহার গোলকের আয়তন হলো

\(\frac{3}{4} \pi r^{3}\) (r=1)

\(\frac{3}{4} \times \frac{22}{7}\times 1^{3}\)

\(\frac{3}{4} \times \frac{22}{7}\times 1\)

\(\frac{3}{2} \times \frac{11}{7}\)

\(\frac{3 \times 11}{2 \times 7}\)

\(\frac{33}{14}\)

---

\(\frac{8448}{7} \div \frac{33}{14}\)

\(\frac{8448}{7} \times \frac{14}{33}\)

\(\frac{8448}{1} \times \frac{2}{33}\)

\(\frac{256}{1} \times \frac{2}{1}\)

\(256 \times 2\)

\(512\)

অতএব 8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের গোলকটি গলিয়ে মোট 512 টি ছোটো গোলোক তৈরি করা যাবে