চক্রবৃদ্ধি সুদ অঙ্ক দশম শ্রেণী মাধ্যমিক পশ্চিমবঙ্গ

স্কুলের পরীক্ষার জন্য

প্রথমে সরল সুদ নির্নয় করিলাম
100 টাকার 1 বছরের সুদ 10 টাকা
1 টাকার 1 বছরের সুদ \(\frac{10}{100}\) টাকা
x টাকার 1 বছরের সুদ \(\frac{10}{100} \times x\) টাকা
এখন x টাকার 3 বছর পর সরল সুদ হল \(\frac{10x \times 3}{100}\) টাকা
\(\frac{30x}{100}\) =\(\frac{3x}{10}\) টাকা

---

এখন 3 বছর পর x টাকার চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে নির্নয় করিব | চক্রবৃদ্ধি সুদ কিভাবে নির্ণয় করতে হয় তা পূর্বের পৃষ্ঠায় আলোচনা করা হয়েছে | এখানে শুধু সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করিব | তাই চাকরির পরীক্ষার জন্য বক্স টি আর করিলাম না |

\(A=p(1+\frac{r}{100})^{n}\)
\(A=x(1+\frac{10}{100})^{3}\)
\(A=x(1+\frac{1}{10})^{3}\)
\(A=x(\frac{10+1}{10})^{3}\)
\(A=x(\frac{11}{10})^{3}\)
\(A=x \times (\frac{11}{10}) \times (\frac{11}{10}) \times (\frac{11}{10})\)

\(A=x \times 1.1 \times 1.1 \times 1.1\)

\(A=x \times 1.331=1.331x\)

\(1.331x\) এই পরিমাণ টাকা হল 3 বছর পর x টাকার চক্রবৃদ্ধি সুদাসল | তা হলে x টাকার 3 বছর পর সুদ হবে \(1.331x-x\) টাকা

\(1.331x-x\)
\(0.331x\)

এখন শর্ত অনুযায়ী x টাকার চক্রবৃদ্ধি সুদ বিযুক্ত সরল সুদ হবে 930 টাকা

\(0.331x-\frac{3x}{10}=930\)

\(\frac{3.31x-3x}{10}=930\)

\(\frac{0.31x}{10}=930\)

\(x=\frac{930 \times 10}{0.31}\)

\(x=\frac{930 \times 10 \times 100}{31}\)

\(x=\frac{30 \times 10 \times 100}{1}\)

\(x=30 \times 10 \times 100\)

\(x=30000\)

অতএব টাকার পরিমাণ হবে 30,000 টাকা

এখানে সরল সুদের অঙ্কটি লিখে করিলাম | সরাসরি সূত্র বসিয়ে করলে অঙ্কটি হয়িতো | পরের অঙ্ক গুলি সূত্র বসিয়ে করিব |

এই চক্রবৃদ্ধি সুদের অঙ্কটি 14 দাগ নাম্বারের মতো হবে | প্রথম বছর 5% ও দ্বিতীয় বছর, প্রথম বছরের সুদাসলকে মুলধন ধরে 6% হারে সুদ নির্ণয় করিতে হবে| তার পর দুই বছরের সুদকে যোগ করিলে উত্তর পাবো |

5000 টাকার 1 বছরে 5% হারে সুদ হবে \(\frac{5000\times 5}{100}\) টাকা
\(\frac{5000\times 5}{100}\) = \(50\times 5\) টাকা
\(50\times 5\)=250 টাকা

5000 টাকার 1 বছরে 5% হারে সুদ হবে 250 টাকা | সুদ আসল হবে 5000+250=5250 টাকা

---

এখন 5250 টাকার 6% হারে 1 বছরের জন্য সুদ নির্ণয় করিব |

5250 টাকার 1 বছরে 6% হারে সুদ হবে \(\frac{5250\times 6}{100}\) টাকা
\(\frac{5250\times 6}{100}\) = \(52.50\times 6\) টাকা
\(52.50\times 6\)=315 টাকা

---

এখন নির্ণয় করা প্রথম বছর ও দ্বিতীয় বছর এর সুদ দুটি যোগ করিলে মোট 250+315=565 টাকা পাবো |

অতএব 5000 টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে 565 টাকা

এই চক্রবৃদ্ধি সুদ এর অঙ্কটি আমি এই রকম ভাবে করিলাম |আমরা সকলেই জানি অঙ্ক বিভিন্ন নিয়মে সমাধান করা যায়, তবে আমার মনে হয় এই অঙ্কটি এই রকম ভাবে সমাধান করিলে সহজ হবে উত্তর নির্নয় করা যাবে |

ধরিলাম মূলধনের পরিমাণ x টাকা এবং বার্ষিক সুদের হার r% |
x টাকার বার্ষিক সুদের r% হারে 1 বছরে x টাকার সুদ হবে \(\frac{xr}{100}\)
এখন শর্ত অনুযায়ী \(\frac{xr}{100}\)=50 টাকা, এটা মনে করিলাম 1.NO সমীকরণ

\(\frac{xr}{100}\)=50..............1.NO সমীকরণ
\(xr=50\times 100\)..............1.NO সমীকরণ
\(xr=5000\)..............1.NO সমীকরণ

এখন x টাকার চক্রবৃদ্ধি সুদ নির্ণয় করিব | x টাকার r% হারে প্রথম বছর সুদ হবে \(\frac{xr}{100}\) টাকা, অর্থাৎ 50 টাকা | কারণ \(\frac{xr}{100}\)=50 | তা হলে প্রথম বছরের শেষে x টাকার সুদাসল হলো x+50 টাকা | অর্থাৎ দ্বিতীয় বছরের শুরুতে মূলধন হল x+50 টাকা | এখন এই x+50 টাকার r% হারে সুদ নির্ণয় করিব এক বছরের জন্য |

x+50 টাকার r% হারে 1 বছরে সুদ হবে \(\frac{(x+50)r)}{100}\) টাকা
এখন x টাকার 2 বছরে চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে \(50+ \frac{(x+50)r)}{100}\) টাকা
প্রথম বছর সুদ 50 টাকা + দ্বিতীয় বছরের সুদ \(\frac{(x+50)r)}{100}\) টাকা

এখন শর্ত অনুযায়ী \(50+ \frac{(x+50)r)}{100}=102\)
\(\frac{(x+50)r)}{100}=102-50\)
\(\frac{(x+50)r)}{100}=52\)
\(\frac{xr+50r)}{100}=52\)

\(\frac{5000+50r)}{100}=52\) xr এর মান বসিয়ে পাই, 1.NO সমীকরণ থেকে

\(5000+50r)=52 \times 100\)
\(5000+50r)=5200\)
\(50r=5200-5000\)
\(50r=200\)
\(r=\frac{200}{50}\)
\(r=4\)

এখন আমরা পেলাম বার্ষিক সুদের হার 4% | অর্থাৎ r এর মান | এই r এর মান 1.NO সমীকরণে বসিয়ে x এর মান পাবো |

\(xr=5000\)..............1.NO সমীকরণ
\(x4=5000\) r এর মান 4 বসিয়ে পাবো
\(x=\frac{5000}{4}\)
\(x=1250\)
অর্থাৎ মূলধন হলো 1250

অতএব মূলধনের পরিমাণ 1250 টাকা এবং বার্ষিক সুদের হার 4%

এই অঙ্কটি করতে হলে 16 দাগ নাম্বারের চক্রবৃদ্ধি সুদের অঙ্কটি ভালো ভাবে বুঝতে হবে | 6 দাগ নাম্বার অঙ্কটি বুঝিতে পারিলে এই অংকটি সমাধান করা সহজ হবে |

প্রথমে 16 দাগ নম্বরের চক্রবৃদ্ধি অঙ্কের সঙ্গে 17 দাগ নম্বরের চক্রবৃদ্ধি অঙ্কের তুলনা করে নেওয়া যাক | তার পর এই চক্রবৃদ্ধি সুদ এর অঙ্কটি সমাধান করিব | একটি টেবিলের সাহায্যে বোঝানোর চেষ্টা করিলাম |

ধরিলাম মূলধনের পরিমাণ x টাকা এবং বার্ষিক সুদের হার r% |
x টাকার বার্ষিক সুদের r% হারে 1 বছরে x টাকার সুদ হবে \(\frac{xr}{100}\)

এখন শর্ত অনুযায়ী \(\frac{xr}{100}\)=4200 টাকা, এটা মনে করিলাম 1.NO সমীকরণ

\(\frac{xr}{100}\)=4200..............1.NO সমীকরণ
\(xr=4200\times 100\)..............1.NO সমীকরণ
\(xr=420000\)..............1.NO সমীকরণ

x টাকার r% হারে প্রথম বছর সুদ হবে \(\frac{xr}{100}\) টাকা, অর্থাৎ 4200 টাকা | কারণ \(\frac{xr}{100}\)=4200 | তা হলে প্রথম বছরের শেষে x টাকার সুদাসল হলো x+4200 টাকা | অর্থাৎ দ্বিতীয় বছরের শুরুতে মূলধন হল x+4200 টাকা | এখন এই x+4200 টাকার r% হারে সুদ নির্ণয় করিব এক বছরের জন্য |
x+4200 টাকার r% হারে 1 বছরে সুদ হবে \(\frac{(x+4200)r)}{100}\) টাকা
এখন x টাকার 2 বছরে চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে \(4200+ \frac{(x+4200)r)}{100}\) টাকা
প্রথম বছর সুদ 4200 টাকা + দ্বিতীয় বছরের সুদ \(\frac{(x+4200)r)}{100}\) টাকা

এখন শর্ত অনুযায়ী \(4200+ \frac{(x+4200)r)}{100}=8652\)
\(\frac{(x+4200)r)}{100}=8652-4200\)
\(\frac{(x+4200)r)}{100}=4452\)
\(\frac{xr+4200r)}{100}=4452\)

\(\frac{420000+4200r)}{100}=4452\) xr এর মান বসিয়ে পাই, 1.NO সমীকরণ থেকে

\(420000+4200r)=4452 \times 100\)
\(420000+4200r)=445200\)
\(4200r=445200-420000\)
\(4200r=25200\)
\(r=\frac{25200}{4200}\)
\(r=6\)

এখন আমরা পেলাম বার্ষিক সুদের হার 4%
এই r এর মান 1.NO সমীকরণে বসিয়ে x এর মান পাবো |
\(xr=420000\)..............1.NO সমীকরণ
\(x6=420000\) r এর মান 6 বসিয়ে পাবো
\(x=\frac{420000}{6}\)
\(x=70000\)
অর্থাৎ মূলধন হলো 70000

অতএব মূলধনের পরিমাণ 70000 টাকা এবং বার্ষিক সুদের হার 6%

স্কুলের পরীক্ষার জন্য step:-1

6 মাস অন্তর 8% হারে সুদ পেয়ে থাকে | অর্থাৎ বছরে 2 বার সুদ পাই |

প্রথম 6 মাসে সুদ পেয়ে থাকে
100 টাকার 1 মাসের সুদ হয় \(\frac{8}{12}\) টাকা
1 টাকার 1 মাসের সুদ হয় \(\frac{8}{100\times 12}\) টাকা
6000 টাকার 1 মাসের সুদ হয় \(\frac{8\times 6000}{100 \times 12}\) টাকা
6000 টাকার 6 মাসের সুদ হয় \(\frac{8\times 6000 \times 6}{100 \times 12}\) টাকা
\(frac{8\times 6000 \times 6}{100 \times 12}\)=\(\frac{8\times 60 \times 6}{12}\) টাকা
\(\frac{8\times 60 \times 6}{12}\)=\(8\times 5 \times 6\) টাকা
\(8\times 5 \times 6\)=240

6000 টাকার প্রথম 6 মাসে সুদ হয় 240 টাকা, সুদ আসল হবে 6240 টাকা | 6240 টাকা হলো দ্বিতীয় 6 মাসের শুরুতে মূলধন |

100 টাকার 1 মাসের সুদ হয় \(frac{8}{12}\) টাকা
1 টাকার 1 মাসের সুদ হয় \(\frac{8}{100\times 12}\) টাকা
6240 টাকার 1 মাসের সুদ হয় \(\frac{8\times 6240}{100 \times 12}\) টাকা
6240 টাকার 6 মাসের সুদ হয় \(\frac{8\times 6240 \times 6}{100 \times 12}\) টাকা
\(frac{8\times 6240 \times 6}{100\times 12}\)=\(\frac{8\times 62.40 \times 6}{12}\) টাকা
\(\frac{8\times 62.40 \times 6}{12}\)=\(8\times 5.2 \times 6\)টাকা
\(8\times 5.2 \times 6\) = 249.6 টাকা
সুদাসল হল 6240+249.6= 6489.6 টাকা

6489.60 পরিমাণ টাকা হল 6000 টাকার এক বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ আসল | তা হলে সুদ হবে 6489.60-6000=489.60 টাকা

অতএব নির্ণেয় চক্রবৃদ্ধি সুদ হলো 489.60 টাকা

প্রথম 3 মাসে সুদ পেয়ে থাকে
100 টাকার 1 মাসের সুদ হয় \(\frac{10}{12}\) টাকা
1 টাকার 1 মাসের সুদ হয় \(\frac{10}{12 \times 100}\) টাকা
6250 টাকার 1 মাসের সুদ হয় \(\frac{10 \times 6250}{12 \times 100}\) টাকা
6250 টাকার 3 মাসের সুদ হয় \(\frac{10 \times 6250 \times 3}{12 \times 100}\) টাকা
\(\frac{10 \times 6250 \times 3}{12 \times 100}\)
\(\frac{10 \times 625 \times 3}{12 \times 10}\)
\(\frac{625 \times 3}{12}\)
\(\frac{625}{4}\)
\(\frac{625}{4}\)
156.25
প্রথম 3 মাসের পর সুদ আসল হল 6250+156.25=6406.25

---

দ্বিতীয় 3 মাসের মূলধন 6406.25 টাকা
দ্বিতীয় 3 মাসে সুদ পেয়ে থাকে
100 টাকার 1 মাসের সুদ হয় \(\frac{10}{12}\) টাকা
1 টাকার 1 মাসের সুদ হয় \(\frac{10}{12 \times 100}\) টাকা
6406.25 টাকার 1 মাসের সুদ হয় \(\frac{10 \times 6406.25}{12 \times 100}\) টাকা
6406.25 টাকার 3 মাসের সুদ হয় \(\frac{10 \times 6406.25 \times 3}{12 \times 100}\) টাকা
\(\frac{10 \times 6406.25 \times 3}{12 \times 100}\)
\(\frac{6406.25 \times 3}{12 \times 10}\)
\(\frac{640.625 \times 3}{12}\)
\(\frac{640.625}{4}\)
\(160.15625\)
দ্বিতীয় 3 মাসের পর সুদ আসল হল 6406.25+160.15625= 6566.40625টাকা

---

তৃতীয় 3 মাসের মূলধন 6566.40625 টাকা
দ্বিতীয় 3 মাসে সুদ পেয়ে থাকে
100 টাকার 1 মাসের সুদ হয় \(\frac{10}{12}\) টাকা
1 টাকার 1 মাসের সুদ হয় \(\frac{10}{12 \times 100}\) টাকা
6566.40625 টাকার 1 মাসের সুদ হয় \(\frac{10 \times 6566.40625}{12 \times 100}\) টাকা
6566.40625 টাকার 3 মাসের সুদ হয় \(\frac{10 \times 6566.40625 \times 3}{12 \times 100}\) টাকা
\(\frac{10 \times 6566.40625 \times 3}{12 \times 100}\)
\(\frac{6566.40625 \times 3}{12 \times 10}\)
\(\frac{656.640625 \times 3}{12}\)
\(\frac{656.640625}{4}\)
\(164.16015625\)
তৃতীয় 3 মাসের পর সুদ আসল হল 6566.40625+164.16015625= 6730.56640625 টাকা

---

6250 টাকার চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে 6730.56640625-6250=480.56640625 টাকা | অর্থাৎ 480.57 টাকা
অতএব 6250 টাকার চক্রবৃদ্ধি সুদ হবে 480.57 টাকা

আমার মনে হয় এই চক্রবৃদ্ধি অঙ্কটির সুদ আসল অর্থাৎ সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে 6998.40 টাকা | 6998.40 এই পরিমাণ টাকা হলে সমাধান সহজ হবে |

ধরিলাম বার্ষিক সুদের হার r%
6000 টাকার 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে \(A=p(1+\frac{r}{100})^{n}\) টাকা
\(A=6000(1+\frac{r}{100})^{2}\)
\(A=6000(\frac{100+r}{100})^{2}\)
\(A=6000\times (\frac{100+r}{100})\times (\frac{100+r}{100})\)
\(A=60\times (\frac{100+r}{1})\times (\frac{100+r}{100})\)
\(A=6\times (\frac{100+r}{1})\times (\frac{100+r}{10})\)
\(A=(\frac{6\times (100+r)^{2}}{10})\)

এখন শর্ত অনুযায়ী \(\frac{6\times (100+r)^{2}}{10}=6998.40\)
\((100+r)^{2}=\frac{6998.4 \times 10}{6}\)
\((100+r)^{2}=\frac{69984}{6}\)
\((100+r)^{2}=11664\)
\(100+r=108\)
\(r=108-100\)
\(r=8\)

অতএব বার্ষিক সুদের হার 8%

ধরিলাম বছরের পরিমান t বছর
40000 টাকার t বছরের সুদ হবে 46656-40000=6656 টাকা

100 টাকার 1 বছরের সুদ হবে 8 টাকা
1 টাকার 1 বছরের সুদ হবে \(\frac{8}{100}\) টাকা
40000 টাকার 1 বছরের সুদ হবে \(\frac{8 \times 40000}{100}\) টাকা
\(\frac{8 \times 40000}{100}\)
\(\frac{320000}{100}\)
\(3200\)
40000 টাকার প্রথম বছরের সুদ আসল হবে 40000+3200=43200 টাকা


100 টাকার 1 বছরের সুদ হবে 8 টাকা
1 টাকার 1 বছরের সুদ হবে \(\frac{8}{100}\) টাকা
43200 টাকার 1 বছরের সুদ হবে \(\frac{8 \times 43200}{100}\) টাকা
\(\frac{8 \times 43200}{100}\)
\(8 \times 432\)
\(8 \times 432\)
3456
43200 টাকার দ্বিতীয় বছরের শেষে সুদ হবে 3456 টাকা | সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে 43200+3456=46656 টাকা

40000 টাকার দ্বিতীয় বছরের শেষে সুদ হবে 3200+3456= 6656 টাকা
অতএব 2 বছরে 40000 টাকার সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে 46656 টাকা

এই চক্রবৃদ্ধি সুদের অঙ্কটি 20 দাগ নাম্বারের মতো হবে |

এই চক্রবৃদ্ধি সুদের অঙ্কটি 21 দাগ নাম্বারের মতো হবে |

এই চক্রবৃদ্ধি সুদের অঙ্কটি 21 দাগ নাম্বারের মতো হবে |

এই চক্রবৃদ্ধি সুদের অঙ্কটি অনেকটা 19 দাগ নাম্বারের মতো হবে | এখানে 6 মাস অন্তর সুদ দেওয়া হয় বলে পর্ব 2 হবে | পর্ব 2 এর সূত্র বসিয়ে অঙ্কটি করিলাম |

\(A=p(1+\frac{\frac{r}{2}}{100})^{2n}\)

\(A=1600\times (1+\frac{\frac{10}{2}}{100})^{2\times \frac{3}{2}}\)

\(A=1600\times (\frac{100+\frac{10}{2}}{100})^{1\times \frac{3}{1}}\)

\(A=1600\times (\frac{\frac{200+10}{2}}{100})^{3}\)

\(A=1600\times (\frac{200+10}{2\times 100})^{3}\)

\(A=1600\times (\frac{210}{200})^{3}\)

\(A=1600\times (\frac{210}{200}) \times (\frac{210}{200}) \times (\frac{210}{200})\)

\(A=\frac{ 1600\times 210 \times 210 \times 210}{200\times 200 \times 200} \)

\(A=\frac{ 16\times 210 \times 210 \times 210}{2\times 200 \times 200} \)

\(A=\frac{ 16\times 21 \times 21 \times 210}{2\times 2 \times 200} \)

\(A=\frac{ 16\times 21 \times 21 \times 21}{2\times 2 \times 20} \)

\(A=\frac{ 148176}{80} \)

\(A=1852.20 \)